Calcul Différentiel

Ce cours de Calcul différentiel couvre l’essentiel du programme de Calcul Différentiel. Il est composé de quatre chapitres. Le but de chaque chapitre est l’acquisition progressive des définitions et théorèmes de cours, et des techniques propres au  calcul différentiel. A la fin de chaque chapitre, une liste d’exercices illustre  ou  développe le thème.

Dans le chapitre 1, on introduit les propriétés fondamentales des espaces vectoiels normés et des espaces de Banach, les applications linéaires et multilinéaires continues, puis les isomorphismes canoniques. Le chapitre 2 est consacré à la notion de différentielle et à ses propriétés élémentaires, puis à l'inégalité de la moyenne et ses applications, étendant le théorème classique des accroissements finis. On étudie dans le chapitre 3, les différentielles d'ordre supérieur d'une application, leurs propriétés, en particulier, leurs symétries (le théorème de Schwarz). Nous présentons les applications de classe C^k et les formules de Taylor, Le dernier paragraphe est consacré à la recherche des points critiques, extréma d'une fonction différentiable. Le chapitre 4 est consacré aux théorèmes d’inversion locale et ses variantes (submersion et immersion), théorème des  fonctions implicites, ...). Ces théorèmes sont assez utilisés en géométrie différentielle, et analyse.